丘.10.5.酉空间,酉变换,Hermite 变换,正规变换

一、复线性空间上的内积,酉空间

1. Hermite性（实空间对称性）：
2. 标准内积

二、有限维酉空间中的标准正交基

1. 称为的Fourier展开，每个系数称为Fourier系数。
2. 定理3设是n维酉空间V的一个标准正交基,向量组满足则是V的一个标准正交基当且仅当P是酉矩阵

三、酉空间的同构

1. 保距同构：设V和V都是酉空间,如果存在V到V的一个双射A。,使得A保持加法和数量乘法运算,且。保持内积
2. 推论5 设V是n维酉空间,则V上的线性变换是保距同构当且仅当。把V的标准正交基映成标准正交基

四、正交补,正交投影

与实空间类似

五、酉变换

类似实空间的正交变换 1. 命题3 酉空间V上的一个变换A是酉变换当且仅当A是V到自身的一个同构映射

六、Hermite 变换(自伴(随)变换)

类似实空间对称变换 1. 命题8 n 维酉空间V上的线性变换A是Hermite 变换当且仅当A在V 的任意一个标准正交基下的矩阵A满足 ,n级复矩阵A称为 Hermite 矩阵或自伴矩阵。

七、线性变换的伴随变换

1. 定义11 设A是复(实)内积空间V上的一个线性变换,如果存在V上的一个线性变换,记作,满足那么称是A的一个伴随变换
2. 实内积空间V中,对称变换A的伴随变换是它自身;正交变换A的伴随变换是;斜对称变换A的伴随变换是。酉空间V中,西变换A的伴随变换是;Hermite 变换A的伴随变换是它自身
3. 定理7 对于n维复(实)内积空间V上的任一线性变换A,都存在唯一的一个伴随变换
4. 定理8 设A是n维复(实)内积空间V上的一个线性变换,如果A在V的一个标准正交基下的矩阵为A,那么在这个标准正交基下的矩阵是。
5. 定理9设V是复(实)内积空间,A,B是V上的线性变换,(或R)。如果A,B都有伴随变换,那么A+B,kA,AB,都有伴随变换

八、正规变换

1. 定义12 设V是复(实)内积空间,A是V上的线性变换,如果A有伴随变换且 那么称A是正规变换。(矩阵同理)
2. 定理12 设A是有限维西空间V上的正规变换,则V中存在一个标准正交基,使得A在此基下的矩阵是对角矩阵。
3. 定理13 对于复数域上的任一n级正规矩阵A,存在一个酉矩阵P,使得对角矩阵。(酉相似)
4. 定理14 任一n级酉矩阵A 一定酉相似于一个对角矩阵
5. 定理15 任一n级Hermite 矩阵都酉相似于一个实对角矩阵。

九、Hermite 型

1. 半线性型（对应实空间线性型）满足Hermite性（对称性）成为Hermite型（实空间的二次型）
2. 正定 Hermite 矩阵与正定矩阵(正定对称矩阵)性质相像